Axel Brauch studierte Schauspiel an der Akademie für darstellende Kunst, Ulm und schloss daran ein Aufbaustudium Gesang in Kooperation mit der Hochschule für Musik Franz Liszt Weimar an. Seinen M.A. schloss er an der Universität Regensburg im Studiengang „Speech, Communication and Rhetoric“ ab. Seit 2009 ist er Mitglied der Deutschen Gesellschaft für Sprechwissenschaft und Sprecherziehung und Sprecherzieher DGSS. Engagements als Schauspieler führten ihn unter anderem an das Staatstheater Stuttgart, Staatstheater Karlsruhe, Staatstheater Darmstadt, Theaterhaus Stuttgart, Theater Bremen und das Theater Osnabrück. Außerdem arbeitete er immer wieder mit unterschiedlichen freien Gruppen zusammen. Axel Brauch ist Gründungsmitglied des Ensembles „Fliegen ab Stuttgart“, mit dem er mehrmals den Stuttgarter Theaterpreis gewann. Für die Produktion „TÖRLESS“ am Teamtheater München in der Regie von Dieter Nelle und „Alles was sie wollen“ in der Regie von Oliver Zimmer war Axel Brauch für den Monica Bleibtreu Preis nominiert. Zu seinen Arbeiten als Regisseur zählen sowohl Schauspiel- als auch Musiktheaterproduktionen, wobei Axel Brauch hauptsächlich spartenübegreifend arbeitet und am Stadttheater und in der freien Szene beheimatet ist. Dabei liegt sein Fokus auf queer-feministischen Themen und Dekolonialisierung. 2017 übernahm er die künstlerische Leitung der Birsteiner Festspiele und realisierte dort die Uraufführung des Musicals „Der wilde Grimm“, welches den Kulturpreis des Main Kinzig Kreises gewann. Er übernahm nach fast 30 Jahren die künstlerische Leitung des Bürgertheaters Ludwigsburg und realisierte gemeinsam mit dem Leitungsteam den Transformationsprozess zum Stadt:Ensemble Ludwigsburg. Seit 2021 ist er dort Teil des künstlerischen Leitungsteams. International arbeitete Axel Brauch bereits an Kunstprojekten und Inszenierungen in Frankreich und Burkina Faso.
Seit 2021 ist er Vorstand von Bunter Hund e.V., einem Verein zur Stärkung von Kunst und Kultur im ländlichen Raum. Axel Brauch lebt als freischaffender Regisseur und Schauspieler in Stuttgart.